Khoảng cách Hilbert là một metric đúng nghĩa, với các đoạn thẳng là đường trắc địa

Đối xứng và dương tính. Viết $[a,x,y,b]=\frac{|ay|}{|ax|}\cdot\frac{|bx|}{|by|}$. Vì $a<x<y<b$ trên đường thẳng, $|ay|=|ax|+|xy|>|ax|$ và $|bx|=|by|+|xy|>|by|$, nên cả hai thừa số đều vượt quá $1$ khi $x\ne y$, do đó $[a,x,y,b]>1$ và $d_\Omega(x,y)>0$; khi $x=y$ cả hai thừa số bằng $1$. Đổi nhãn $(x,y,a,b)\mapsto(y,x,b,a)$ biến $\frac{|ay||bx|}{|ax||by|}$ thành $\frac{|bx||ay|}{|by||ax|}$, tức cùng một số, nên $d_\Omega(x,y)=d_\Omega(y,x)$.

Tính cộng tính trên một đường thẳng. Cho $x,y,z$ thẳng hàng với $y$ nằm giữa $x$ và $z$, và cho $a,b$ là các giao điểm biên (chung) của đường thẳng đó. Viết cả bốn khoảng cách một chiều dọc theo đường thẳng, $$[a,x,y,b]\cdot[a,y,z,b]=\frac{|ay|}{|ax|}\frac{|bx|}{|by|}\cdot\frac{|az|}{|ay|}\frac{|by|}{|bz|}=\frac{|az|}{|ax|}\frac{|bx|}{|bz|}=[a,x,z,b],$$ vì các thừa số $|ay|$ và $|by|$ triệt tiêu nhau. Lấy $\frac12\ln$ hai vế cho $d_\Omega(x,y)+d_\Omega(y,z)=d_\Omega(x,z)$, đúng là trường hợp dấu bằng của bất đẳng thức tam giác, nên đoạn thẳng $[x,z]$ hiện thực hóa khoảng cách Hilbert và là một đường trắc địa.

Bất đẳng thức tam giác ngoài một đường thẳng. Với $x,y,z$ không thẳng hàng, tính lồi của $\Omega$ chính là điều cần thiết: chiếu cặp $(x,z)$ qua $y$ chỉ làm tỉ số kép liên quan lớn hơn so với đi thẳng từ $x$ đến $z$, vì các điểm biên nhìn từ $y$ không nằm gần $x$ hay $z$ hơn các điểm biên nhìn trực tiếp dọc theo $xz$ — tính đơn điệu này, được chứng minh cẩn thận nhờ tính lồi của $\Omega$, cho $d_\Omega(x,z)\le d_\Omega(x,y)+d_\Omega(y,z)$ trong trường hợp tổng quát (xem Hilbert 1895; một chứng minh đầy đủ có trong Handbook of Hilbert Geometry, Ch. 1).