Định lý Carathéodory

Viết $x = \sum_{i=1}^{k} \lambda_i x_i$ với $x_i \in S$, $\lambda_i > 0$, và $\sum_{i=1}^{k} \lambda_i = 1$, được chọn sao cho số hạng tử $k$ là nhỏ nhất. Ta chứng minh $k \le d + 1$.

Giả sử phản chứng rằng $k \ge d + 2$. Khi đó $k - 1 \ge d + 1$ vectơ hiệu $x_2 - x_1, x_3 - x_1, \ldots, x_k - x_1$ trong $\mathbb{R}^d$ phụ thuộc tuyến tính, nên tồn tại các vô hướng $\mu_2, \ldots, \mu_k$ không đồng thời bằng không sao cho $\sum_{i=2}^{k} \mu_i (x_i - x_1) = 0$. Đặt $\mu_1 = -\sum_{i=2}^{k} \mu_i$ ta được $\sum_{i=1}^{k} \mu_i x_i = 0$ và $\sum_{i=1}^{k} \mu_i = 0$ với ít nhất một $\mu_i > 0$.

Với mọi số thực $t$ ta có $x = \sum_{i=1}^{k} (\lambda_i - t \mu_i) x_i$ với tổng các hệ số bằng $1$. Chọn $t = \min_{\mu_i > 0} (\lambda_i / \mu_i) > 0$; khi đó mọi hệ số mới $\lambda_i - t \mu_i$ đều không âm và ít nhất một hệ số bằng $0$, biểu diễn $x$ thành tổ hợp lồi của nhiều nhất $k - 1$ điểm thuộc $S$, mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của $k$.