Định lý vật thể lồi Minkowski

Xét vật thể co một nửa $\frac{1}{2} K = \{\, x / 2 : x \in K \,\}$. Co giãn trong không gian $d$ chiều nhân thể tích với $2^{-d}$, nên giả thiết $\operatorname{vol}(K) > 2^d \det(\Lambda)$ trở thành $\operatorname{vol}(\frac{1}{2} K) > \det(\Lambda)$.

Gọi $F$ là hình hộp cơ bản của $\Lambda$, sao cho $\mathbb{R}^d = \bigsqcup_{v \in \Lambda} (F + v)$ và $\operatorname{vol}(F) = \det(\Lambda)$. Cắt $\frac{1}{2} K$ thành các mảnh $A_v = (\frac{1}{2} K) \cap (F + v)$ rồi tịnh tiến từng mảnh về lại trong $F$ qua $B_v = A_v - v \subseteq F$. Vì tổng thể tích các $B_v$ bằng $\operatorname{vol}(\frac{1}{2} K) > \operatorname{vol}(F)$, nên các tập $B_v$ không thể rời nhau từng đôi một (nguyên lý Blichfeldt).

Chọn hai vectơ dàn phân biệt $u \neq v$ trong $\Lambda$ sao cho $B_u \cap B_v \neq \emptyset$. Khi đó tồn tại hai điểm phân biệt $p, q \in \frac{1}{2} K$ thỏa mãn $p - u = q - v$, suy ra $p - q = u - v \in \Lambda \setminus \{0\}$. Vì $p, q \in \frac{1}{2} K$, ta có $2p, 2q \in K$; tính đối xứng tâm của $K$ cho $-2q \in K$, và tính lồi của $K$ đặt trung điểm $\frac{1}{2}(2p) + \frac{1}{2}(-2q) = p - q$ vào trong $K$. Vậy $p - q$ là điểm dàn khác không nằm trong $K \cap (\Lambda \setminus \{0\})$.