Số mũ Lyapunov của ánh xạ logistic hoàn toàn hỗn loạn bằng ln 2

Bước 1 (liên hợp). Đặt $x=\sin^2(\pi y)$. Dùng công thức góc nhân đôi, $4x(1-x)=4\sin^2(\pi y)\cos^2(\pi y)=\sin^2(2\pi y)$. Nếu ta cũng đặt $y' = T(y)$ cho ánh xạ nhân đôi $T(y)=2y \bmod 1$, thì $\sin^2(\pi y') = \sin^2(2\pi y)$ khớp chính xác với vế phải ở trên, vậy $f(h(y)) = h(T(y))$ với $h(y)=\sin^2(\pi y)$: ánh xạ logistic tại r = 4 liên hợp trơn với ánh xạ nhân đôi.

Bước 2 (số mũ Lyapunov của ánh xạ nhân đôi). Ánh xạ nhân đôi tuyến tính từng khúc với $T'(y)=2$ ở mọi nơi nó khả vi, nên dọc theo mọi quỹ đạo, $\tfrac1n\sum_{i=0}^{n-1}\ln|T'(y_i)| = \ln 2$ đúng, với mọi $n$ — giới hạn tầm thường là $\ln 2$.

Bước 3 (chuyển số mũ qua liên hợp). Lấy đạo hàm $f(h(y))=h(T(y))$ theo quy tắc dây chuyền cho $f'(h(y))h'(y)=h'(T(y))T'(y)$, tức $\ln|f'(x)| = \ln|h'(T(y))| + \ln|T'(y)| - \ln|h'(y)|$ tại $x=h(y)$. Cộng đẳng thức này dọc theo một quỹ đạo $y_0,y_1,\dots,y_{n-1}$ rồi chia cho $n$, các số hạng giữa triệt tiêu theo kiểu domino: $\tfrac1n\sum_{i=0}^{n-1}\ln|f'(x_i)| = \ln2+\tfrac1n\big[\ln|h'(y_n)|-\ln|h'(y_0)|\big]$.

Bước 4 (số hạng biên tiến về không). Vì $h'(y)=\pi\sin(2\pi y)$ bị chặn (độ lớn không bao giờ vượt quá $\pi$), số hạng trong ngoặc $\ln|h'(y_n)|-\ln|h'(y_0)|$ vẫn bị chặn khi $n\to\infty$ với mọi quỹ đạo tránh được tập đếm được các không điểm của $h'$ — một tập có độ đo Lebesgue bằng không. Chia một đại lượng bị chặn cho $n$ cho kết quả tiến về $0$, vậy số mũ Lyapunov của ánh xạ logistic tại r = 4 bằng $\ln 2$ với hầu hết mọi điều kiện ban đầu.