Phân nhánh nhân đôi chu kỳ của ánh xạ logistic tại r = 3

Bước 1 (tìm điểm cân bằng). Giải $rx(1-x)=x$, tức $x[r(1-x)-1]=0$. Điều này cho $x=0$ hoặc điểm cân bằng không tầm thường $x^* = 1-\tfrac{1}{r}$, nằm trong $(0,1)$ đúng khi $r>1$.

Bước 2 (tuyến tính hóa). Lấy đạo hàm, $f'(x)=r-2rx$. Tính tại điểm cân bằng không tầm thường, $f'(x^*) = r - 2r\left(1-\tfrac1r\right) = r - 2r + 2 = 2-r$, nên $f'(x^*) = 2-r$.

Bước 3 (tiêu chuẩn ổn định). Một điểm cân bằng ổn định cục bộ đúng khi $|f'(x^*)|<1$, tức $|2-r|<1$, biến đổi thành $1<r<3$. Vậy $x^*$ hút các quỹ đạo lân cận trong suốt khoảng này.

Bước 4 (phân nhánh tại r = 3). Đúng tại $r=3$, $f'(x^*)=-1$: tuyến tính hóa ở ranh giới. Khi $r$ hơi lớn hơn 3, $|f'(x^*)|>1$ và $x^*$ trở thành điểm đẩy. Đồng thời ánh xạ lặp hai lần $f\circ f$, theo quy tắc dây chuyền, có đạo hàm $f'(x^*)^2=1$ tại $x^*$ đúng khi $r=3$; khai triển $f\circ f$ đến bậc cao hơn cho thấy điểm suy biến này tách thành hai điểm cân bằng mới thực sự của $f\circ f$ (một chu trình chu kỳ 2 ổn định của $f$) khi $r$ tăng qua 3 — đó là phân nhánh nhân đôi chu kỳ.