Thứ tự lượng từ không giao hoán

Chiều thuận. Giả sử $\mathcal{M} \models_s \exists y\, \forall x\, R(x,y)$. Theo mệnh đề ngữ nghĩa cho $\exists$, $\mathcal{M} \models_s \exists y\, \varphi \iff \text{there is } d \in M \text{ with } \mathcal{M} \models_{s[y \mapsto d]} \varphi$; áp dụng ở đây cho ta một $d_0 \in M$ với $\mathcal{M} \models_{s[y \mapsto d_0]} \forall x\, R(x,y)$.

Áp dụng mệnh đề cho $\forall$ vào điều này, $\mathcal{M} \models_{s[y \mapsto d_0][x \mapsto a]} R(x,y)$ đúng với mọi $a \in M$, vì $\forall x$ chạy khắp $M$ bất kể sau này ta chọn $a$ nào.

Bây giờ cố định một $a \in M$ tùy ý để kiểm chứng $\forall x\, \exists y\, R(x,y)$. Từ đoạn trên, lấy $x \mapsto a$ cho $\mathcal{M} \models_{s[y \mapsto d_0][x \mapsto a]} R(x,y)$, cho thấy chính $d_0$ là nhân chứng cho $\exists y\, R(x,y)$ dưới $x \mapsto a$; do đó $\mathcal{M} \models_{s[x \mapsto a]} \exists y\, R(x,y)$.

Vì $a \in M$ tùy ý, $\mathcal{M} \models_{s[x \mapsto a]} \exists y\, R(x,y)$ đúng với mọi $a$, đó chính xác là mệnh đề ngữ nghĩa cho $\mathcal{M} \models_s \forall x\, \exists y\, R(x,y)$. Điều này chứng minh $\exists y\, \forall x\, R(x,y) \Rightarrow \forall x\, \exists y\, R(x,y)$.

Chiều đảo không đúng: một phản ví dụ. Cho $\mathcal{M}$ có miền $M = \mathbb{Z}$ (số nguyên) và diễn giải $R(x,y)$ là "$x < y$". Khi đó $\forall x\, \exists y\, R(x,y)$ ĐÚNG: với mọi số nguyên $x$, lấy $y = x+1$ cho $x < y$. Nhưng $\exists y\, \forall x\, R(x,y)$ SAI: nó đòi hỏi một số nguyên $y$ duy nhất lớn hơn mọi số nguyên $x$, và không tồn tại số nguyên lớn nhất như vậy (với bất kỳ $y$ ứng viên nào, số nguyên $y+1$ vi phạm $y+1 < y$). Vậy $\forall x\, \exists y\, R(x,y)$ đúng trong khi $\exists y\, \forall x\, R(x,y)$ sai, cho thấy mệnh đề đảo nói chung là sai.