マシュケの定理

ステップ1(任意の補空間から始める)。通常の線形代数により、$V$ における $W$ の任意のベクトル空間としての補空間 $U$($G$不変である必要はない)を選び、$\pi: V \to W$ を対応する射影とする($\pi|_W = \mathrm{id}$、$\ker\pi = U$)。

ステップ2(群全体で平均する)。$\bar\pi = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \rho(g)\, \pi\, \rho(g)^{-1}$ と定義する。これは $\operatorname{char}(k) \nmid |G|$ であるからこそ意味を持ち、したがって $|G|$ は $k$ で可逆である。

ステップ3($\bar\pi$ は依然として $W$ への射影である)。$w \in W$ に対して、$W$ が $G$不変なので $\rho(g)^{-1}w \in W$ となり、$\pi(\rho(g)^{-1}w) = \rho(g)^{-1}w$ が成り立ち、各項について $\rho(g)\pi(\rho(g)^{-1}w) = w$ が得られる;この $w$ の $|G|$ 個のコピーを平均すると $\bar\pi(w) = w$ となる。一般の $v \in V$ については、$\pi(\rho(g)^{-1}v) \in W$ は常に成り立つ($\pi$ の像であるから)ので、不変性により $\rho(g)\pi(\rho(g)^{-1}v) \in \rho(g)W = W$ となり、平均も $W$ にとどまる;したがって $\bar\pi: V \to W$ は $W$ への射影である。

ステップ4($\bar\pi$ は作用と可換なので、その核は $G$不変である)。任意の $h \in G$ に対して $\rho(h)\bar\pi\rho(h)^{-1} = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g} \rho(hg)\pi\rho(hg)^{-1} = \bar\pi$ となる。なぜなら $g \mapsto hg$ は和を並べ替えるだけだからである;よって $\rho(h)\bar\pi = \bar\pi\rho(h)$。$W' = \ker\bar\pi$ とすると、$v \in W'$ に対して $\bar\pi(\rho(h)v) = \rho(h)\bar\pi(v) = \rho(h)(0) = 0$ となり、$\rho(h)v \in W'$:$W'$ は $G$不変であり、$\bar\pi$ が $W$ への射影であるから $V = W \oplus W'$ である。この分解を $W'$ に対して繰り返す(有限次元なので必ず終了する)ことで $V$ は既約表現の直和に分解される。