Định lý Maschke

Bước 1 (bắt đầu với một phần bù bất kỳ). Theo đại số tuyến tính thông thường, chọn một phần bù không gian vectơ bất kỳ $U$ cho $W$ trong $V$ (không nhất thiết bất biến với $G$), và gọi $\pi: V \to W$ là phép chiếu tương ứng ($\pi|_W = \mathrm{id}$, $\ker\pi = U$).

Bước 2 (lấy trung bình trên nhóm). Định nghĩa $\bar\pi = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \rho(g)\, \pi\, \rho(g)^{-1}$. Điều này có nghĩa chính xác vì $\operatorname{char}(k) \nmid |G|$, nên $|G|$ khả nghịch trong $k$.

Bước 3 ($\bar\pi$ vẫn là phép chiếu lên $W$). Với $w \in W$, vì $W$ bất biến với $G$, $\rho(g)^{-1}w \in W$, nên $\pi(\rho(g)^{-1}w) = \rho(g)^{-1}w$, cho $\rho(g)\pi(\rho(g)^{-1}w) = w$ với mỗi số hạng; lấy trung bình $|G|$ bản sao của $w$ này cho $\bar\pi(w) = w$. Với $v \in V$ tổng quát, $\pi(\rho(g)^{-1}v) \in W$ luôn (ảnh của $\pi$), nên $\rho(g)\pi(\rho(g)^{-1}v) \in \rho(g)W = W$ theo tính bất biến, và lấy trung bình vẫn nằm trong $W$; do đó $\bar\pi: V \to W$ là một phép chiếu lên $W$.

Bước 4 ($\bar\pi$ giao hoán với tác động, nên hạt nhân của nó bất biến với $G$). Với bất kỳ $h \in G$, $\rho(h)\bar\pi\rho(h)^{-1} = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g} \rho(hg)\pi\rho(hg)^{-1} = \bar\pi$ vì $g \mapsto hg$ chỉ hoán vị tổng; nên $\rho(h)\bar\pi = \bar\pi\rho(h)$. Đặt $W' = \ker\bar\pi$, với $v \in W'$ ta có $\bar\pi(\rho(h)v) = \rho(h)\bar\pi(v) = \rho(h)(0) = 0$, nên $\rho(h)v \in W'$: $W'$ bất biến với $G$, và $V = W \oplus W'$ vì $\bar\pi$ là phép chiếu lên $W$. Lặp lại phép tách này trên $W'$ (số chiều hữu hạn buộc phải dừng) phân tích $V$ thành tổng trực tiếp các biểu diễn bất khả quy.