Tương đương phản đảo

Ta chứng minh $(P \to Q) \equiv (\neg Q \to \neg P)$ bằng cách so sánh bảng chân trị của $P\to Q$ và $\neg Q\to\neg P$ trên cả bốn phép gán.

Trường hợp $P=1, Q=1$: $P\to Q=1$ (giả thiết đúng, kết luận đúng). Đồng thời $\neg Q=0$, nên $\neg Q\to\neg P$ có giả thiết sai, khiến cả mệnh đề kéo theo bằng $1$ bất kể $\neg P$. Hai vế đều bằng $1$.

Trường hợp $P=1, Q=0$: $P\to Q=0$ (giả thiết đúng, kết luận sai là trường hợp duy nhất khiến kéo theo sai). Đồng thời $\neg Q=1$, $\neg P=0$, nên $\neg Q\to\neg P$ có giả thiết đúng, kết luận sai, cho ra $0$. Hai vế đều bằng $0$.

Trường hợp $P=0, Q=1$: $P\to Q=1$ (giả thiết sai khiến kéo theo luôn đúng). Đồng thời $\neg Q=0$, nên $\neg Q\to\neg P=1$ tự động. Hai vế đều bằng $1$.

Trường hợp $P=0, Q=0$: $P\to Q=1$ (giả thiết sai). Đồng thời $\neg Q=1$, $\neg P=1$, nên $\neg Q\to\neg P=1$ (giả thiết đúng, kết luận đúng). Hai vế đều bằng $1$.

Cả bốn dòng khớp nhau, nên $P\to Q$ và $\neg Q\to\neg P$ có cùng bảng chân trị và tương đương logic. Lưu ý điều này khác với đảo $Q\to P$ và phản $\neg P\to\neg Q$, hai mệnh đề này tương đương nhau nhưng nói chung KHÔNG tương đương với kéo theo gốc — một nguồn lỗi lập luận rất hay gặp.