Nghiệm cơ bản sinh ra mọi nghiệm

Trước hết kiểm tra $(x_n,y_n)$ định nghĩa bởi $x_n+y_n\sqrt d=(x_1+y_1\sqrt d)^n$ đúng là nghiệm với mọi $n$: lấy liên hợp, $x_n-y_n\sqrt d=(x_1-y_1\sqrt d)^n$, nên $x_n^2-dy_n^2=(x_n+y_n\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d)=\left[(x_1+y_1\sqrt d)(x_1-y_1\sqrt d)\right]^n=(x_1^2-dy_1^2)^n=1^n=1$.

Giờ giả sử $(x,y)$ là một nghiệm nguyên dương bất kỳ không có dạng này; vì $x_n\to\infty$ khi $n\to\infty$, tồn tại duy nhất $n$ với $x_n+y_n\sqrt d \le x+y\sqrt d < x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt d = (x_n+y_n\sqrt d)(x_1+y_1\sqrt d)$.

Chia cả hai vế cho $(x_n+y_n\sqrt d)$, tức nhân với nghịch đảo $(x_n-y_n\sqrt d)$ (hợp lệ vì $x_n^2-dy_n^2=1$): đặt $x'+y'\sqrt d = (x+y\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d)$. Khi đó $1\le x'+y'\sqrt d < x_1+y_1\sqrt d$, và $x'^2-dy'^2=(x^2-dy^2)(x_n^2-dy_n^2)=1\cdot 1=1$, nên $(x',y')$ cũng là nghiệm của phương trình Pell.

Một tính toán ngắn dùng $x'+y'\sqrt d\ge 1$ và $x'^2-dy'^2=1$ cho thấy $x'\ge 1$ và $y'\ge 0$ (một nghiệm với $x'+y'\sqrt d\ge 1$ nhưng $y'<0$ sẽ buộc $x'>x_1$, mâu thuẫn với $x'+y'\sqrt d<x_1+y_1\sqrt d$ kết hợp với phương trình chuẩn). Nếu $y'>0$, thì $(x',y')$ là nghiệm dương với $x'+y'\sqrt d<x_1+y_1\sqrt d$, mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của nghiệm cơ bản. Vậy $y'=0$, buộc $x'=1$, tức $x+y\sqrt d=x_n+y_n\sqrt d$, nên $(x,y)=(x_n,y_n)$ suy cho cùng — mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy mọi nghiệm dương chính xác là một $(x_n,y_n)$ nào đó, chứng minh nghiệm cơ bản sinh ra toàn bộ tập nghiệm.