Nguyên lý bù trừ cho hai tập hợp

Ý tưởng then chốt là tách $A \cup B$ thành ba phần rời nhau đôi một rồi đếm mỗi phần đúng một lần.

Trước tiên, tách mỗi tập bằng tập kia: $A = (A \setminus B) \cup (A \cap B)$ và $B = (B \setminus A) \cup (A \cap B)$. Trong mỗi đẳng thức, hai phần ở vế phải rời nhau, vì $(A\setminus B) \cap (A \cap B) = \varnothing$ (một phần tử ở ngoài $B$ không thể đồng thời ở trong $B$) và tương tự $(B\setminus A) \cap (A \cap B) = \varnothing$. Vì kích thước một tập hữu hạn bằng tổng kích thước các phần rời nhau tạo thành nó, ta có $|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$ và $|B| = |B \setminus A| + |A \cap B|$.

Tiếp theo, để ý rằng chính $A \cup B$ tách thành ba phần rời nhau đôi một: $A \cup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \cup (A \cap B)$. Thật vậy $A\setminus B$, $B\setminus A$, $A\cap B$ rời nhau đôi một (một phần tử thuộc $A\setminus B$ thì không thuộc $B$, do đó không thuộc $A \cap B$ hay $B \setminus A$; tương tự cho các phần còn lại), và hợp của chúng đúng bằng các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$. Đếm theo cách chia này cho $|A \cup B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B|$.

Cuối cùng thay vào: từ $|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$ ta có $|A \setminus B|$ $= |A| - |A\cap B|$, và từ $|B| = |B \setminus A| + |A \cap B|$ ta có $|B \setminus A|$ $= |B| - |A\cap B|$. Thay cả hai vào $|A \cup B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B|$ cho $|A \cup B| = (|A| - |A\cap B|) + (|B| - |A\cap B|) + |A\cap B| = |A| + |B| - |A\cap B|$, đúng là $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$. Chứng minh hoàn tất.