Định lý nhị thức Newton

Chứng minh bằng quy nạp theo $n$. Cơ sở $n=1$: $(a+b)^1=a+b=\binom{1}{0}a+\binom{1}{1}b$, khớp với công thức vì $\binom{1}{0}=\binom{1}{1}=1$.

Bước quy nạp: giả sử công thức đúng với một $n$ nào đó, tức $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$. Nhân hai vế với $(a+b)$: $(a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n+1-k}b^k+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}$.

Đổi chỉ số của tổng thứ hai với $j=k+1$ rồi gộp hệ số của $a^{n+1-j}b^j$ từ hai tổng, ta được $\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1}$ với mỗi $j$ từ $0$ đến $n+1$ (quy ước $\binom{n}{-1}=\binom{n}{n+1}=0$).

Theo quy tắc Pascal $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$, tổng này bằng $\binom{n+1}{j}$, nên $(a+b)^{n+1}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}a^{n+1-j}b^j$, hoàn tất quy nạp.