Công thức sai số nội suy Lagrange

Bước 1 (một hàm phụ khéo léo). Cố định một điểm $x$ không phải là một trong các nút (nếu là nút, sai số tầm thường bằng $0$). Đặt $w(t) = \prod_{i=0}^{n} (t - x_i)$ và định nghĩa hằng số $c = \dfrac{f(x)-P(x)}{w(x)}$ (xác định tốt vì $w(x)\ne0$). Định nghĩa hàm phụ $g(t) = f(t) - P(t) - c\, w(t)$.

Bước 2 (đếm nghiệm của g). Tại mỗi nút $x_i$, cả $f(x_i)-P(x_i)=0$ (theo tính chất nội suy) và $w(x_i)=0$ (theo định nghĩa của $w$), nên $g(x_i)=0$ với tất cả $n+1$ nút. Ngoài ra, theo cách chọn $c$, $g(x) = f(x)-P(x) - c\,w(x) = f(x)-P(x) - [f(x)-P(x)] = 0$. Vậy $g$ có $n+2$ nghiệm phân biệt: $n+1$ nút cộng thêm chính $x$.

Bước 3 (áp dụng định lý Rolle nhiều lần). Giữa mỗi cặp nghiệm liên tiếp của $g$ (có $n+1$ khoảng như vậy giữa $n+2$ nghiệm), định lý Rolle cho một điểm nơi $g'$ triệt tiêu, nên $g'$ có ít nhất $n+1$ nghiệm. Lặp lại lập luận này trên $g', g'', \dots$ mất đi một nghiệm mỗi lần lấy đạo hàm, nên sau $n+1$ lần áp dụng, $g^{(n+1)}$ có ít nhất một nghiệm $\xi$ trong khoảng.

Bước 4 (lấy đạo hàm và giải sai số). Vì $P$ có bậc không quá $n$, đạo hàm cấp $(n+1)$ của nó là $0$; và $w$ là đa thức monic bậc $n+1$, nên $w^{(n+1)}(t) = (n+1)!$ với mọi $t$. Lấy đạo hàm $g$ cho $g^{(n+1)}(t) = f^{(n+1)}(t) - 0 - c\,(n+1)!$, và đặt $g^{(n+1)}(\xi)=0$ cho $c = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$. Nhớ lại $c=\dfrac{f(x)-P(x)}{w(x)}$ và giải sai số cho đúng $f(x) - P(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^{n} (x - x_i)$.