Sự tồn tại và duy nhất của spline bậc ba tự nhiên

Bước 1 (ẩn số: đạo hàm cấp hai tại các nút). Đặt $M_i = S''(x_i)$ với $i=0,\dots,n$. Các điều kiện biên tự nhiên cố định ngay $M_0=0$ và $M_n=0$, còn lại $n-1$ ẩn số $M_1,\dots,M_{n-1}$ cần xác định.

Bước 2 (dựng lại mỗi mảnh bậc ba từ các giá trị M). Trên $[x_i,x_{i+1}]$, vì $S$ là bậc ba, $S''$ là tuyến tính, nên nó phải là đường thẳng qua $(x_i,M_i)$ và $(x_{i+1},M_{i+1})$. Lấy tích phân hàm tuyến tính này hai lần và cố định hai hằng số tích phân bằng cách dùng $S(x_i)=y_i$ và $S(x_{i+1})=y_{i+1}$ xác định hoàn toàn $S$ trên mảnh đó, theo $M_i, M_{i+1}, y_i, y_{i+1}$ và khoảng cách $h_i=x_{i+1}-x_i$. Vậy khi mọi $M_i$ đã biết, $S$ hoàn toàn được xác định.

Bước 3 (khớp hệ số góc cho một hệ tuyến tính). Theo cách xây dựng, $S$ và $S''$ đã liên tục qua mỗi nút. Yêu cầu đạo hàm cấp một $S'$ cũng khớp từ hai phía tại mỗi nút trong $x_i$ ($i=1,\dots,n-1$) tạo ra một phương trình tuyến tính cho mỗi nút trong liên hệ ba ẩn liên tiếp: $h_{i-1} M_{i-1} + 2(h_{i-1}+h_i) M_i + h_i M_{i+1} = 6\left(\dfrac{y_{i+1}-y_i}{h_i} - \dfrac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}\right)$. Điều này cho $n-1$ phương trình tuyến tính trong $n-1$ ẩn $M_1,\dots,M_{n-1}$ (dùng $M_0=M_n=0$).

Bước 4 (hệ có nghiệm duy nhất). Ma trận hệ số của hệ này là ba đường chéo với các mục trên đường chéo $2(h_{i-1}+h_i)$ và các mục ngoài đường chéo $h_{i-1}$ và $h_i$; vì $2(h_{i-1}+h_i) > h_{i-1}+h_i$ (do mọi khoảng cách $h_i>0$), ma trận chiếm ưu thế đường chéo chặt, và một ma trận chiếm ưu thế đường chéo chặt luôn khả nghịch. Vậy hệ tuyến tính cho $M_1,\dots,M_{n-1}$ có đúng một nghiệm, và theo Bước 2 điều này xác định đúng một spline $S$, chứng minh cả sự tồn tại lẫn duy nhất.