Sự tồn tại và duy nhất của đa thức nội suy

Bước 1 (tồn tại). Cách xây dựng Lagrange $P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$ với $L_i(x) = \prod_{j\ne i} \dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$ đã thỏa $P(x_k)=y_k$ với mọi $k$, vì $L_i(x_k)$ bằng $1$ khi $i=k$ và $0$ khi khác, nên tổng thu gọn thành một số hạng duy nhất $y_k \cdot 1 = y_k$. Vậy tồn tại ít nhất một $P$ hợp lệ, và mỗi $L_i$ có bậc đúng bằng $n$ (tích của $n$ thừa số tuyến tính), nên $P$ có bậc không quá $n$.

Bước 2 (giả sử có hai nghiệm). Giả sử $Q$ là bất kỳ đa thức nào khác có bậc không quá $n$ với $Q(x_i)=y_i$ với mọi $i$. Xét hiệu $D(x) = P(x) - Q(x)$. Vì cả $P$ và $Q$ đều có bậc không quá $n$, nên $D$ cũng vậy.

Bước 3 (đếm nghiệm của hiệu). Với mỗi nút $x_i$, $D(x_i) = P(x_i)-Q(x_i) = y_i - y_i = 0$. Vì có $n+1$ nút phân biệt $x_0, x_1, \dots, x_n$, $D$ có ít nhất $n+1$ nghiệm phân biệt.

Bước 4 (buộc D đồng nhất bằng 0). Một đa thức khác không có bậc không quá $n$ có thể có nhiều nhất $n$ nghiệm (mỗi nghiệm góp một thừa số tuyến tính, và một đa thức bậc $n$ không thể chứa nhiều hơn $n$ thừa số như vậy). Vì $D$ có $n+1$ nghiệm, nhiều hơn bậc của nó cho phép trừ khi $D$ là đa thức không, ta kết luận $D(x)\equiv0$, tức $Q=P$. Vậy đa thức nội suy tìm được ở Bước 1 là duy nhất.