Tính đơn điệu của entropy $\mathcal{F}$ của Perelman

Bước 1 (độ đo được bảo toàn). Dưới dòng Ricci, $\partial_t\,dV=-R\,dV$ (vì $\partial_t\log\sqrt{\det g}=\tfrac12g^{ij}\partial_tg_{ij}=-R$). Kết hợp với sự tiến triển $\partial_t f = -\Delta f + |\nabla f|^2 - R$ của $f$ cho $\partial_t(e^{-f}dV)=(-\partial_tf-R)e^{-f}dV=(\Delta f-|\nabla f|^2)e^{-f}dV=-\Delta(e^{-f})\,dV$, dùng $\Delta(e^{-f})=e^{-f}(|\nabla f|^2-\Delta f)$. Lấy tích phân trên đa tạp compact $M$, vế phải triệt tiêu theo định lý divergence, nên $\int_M e^{-f}dV$ hằng theo thời gian: $e^{-f}dV$ là một độ đo được bảo toàn mang theo bởi dòng chảy ghép cặp.

**Bước 2 (quy về tích phân của $\partial_t\varphi-\Delta\varphi$).** Đặt $\varphi=R+|\nabla f|^2$, nên $\mathcal F(g,f)=\int_M\varphi\,e^{-f}dV$. Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân và dùng $\partial_t(e^{-f}dV)=-\Delta(e^{-f})\,dV$ từ Bước 1, $\frac{d}{dt}\mathcal F=\int_M(\partial_t\varphi)e^{-f}dV-\int_M\varphi\,\Delta(e^{-f})\,dV$. Vì toán tử Laplace thông thường tự liên hợp đối với $dV$ trên đa tạp compact $M$, $\int_M\varphi\,\Delta(e^{-f})\,dV=\int_M(\Delta\varphi)e^{-f}dV$, nên $\frac{d}{dt}\mathcal F=\int_M\big[\partial_t\varphi-\Delta\varphi\big]e^{-f}dV$.

**Bước 3 (phần $R$).** Công thức tiến triển của Hamilton cho độ cong vô hướng là $\partial_tR=\Delta R+2|\mathrm{Ric}|^2$, do đó $\partial_tR-\Delta R=2|\mathrm{Ric}|^2$ trực tiếp. Điều này đã đóng góp $2|\mathrm{Ric}|^2$ vào dấu ngoặc ở Bước 2.

**Bước 4 (phần $|\nabla f|^2$).** Vì $\partial_tg^{ij}=2R^{ij}$, quy tắc dây chuyền cho $\partial_t|\nabla f|^2=2\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)+2\langle\nabla f,\nabla(\partial_tf)\rangle$, và thay $\partial_tf=-\Delta f+|\nabla f|^2-R$ cùng đẳng thức $\langle\nabla f,\nabla|\nabla f|^2\rangle=2\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)$ cho $\partial_t|\nabla f|^2=2\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle+4\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle$. Công thức Bochner phát biểu $\Delta|\nabla f|^2=2|\nabla^2f|^2+2\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle+2\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)$; trừ đi triệt tiêu cả hai bản sao $\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)$ và để lại $\partial_t|\nabla f|^2-\Delta|\nabla f|^2=-2|\nabla^2f|^2+4\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)-4\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle$.

Bước 5 (Bochner có trọng số và một divergence triệt tiêu). Đưa vào toán tử Laplace Bakry–Émery (có trọng số $f$) $\Delta_f h = \Delta h - \langle\nabla f,\nabla h\rangle$; nó thỏa $\int_M(\Delta_fh)e^{-f}dV=0$ với mọi hàm $h$, vì $\Delta_fh\,e^{-f}=\mathrm{div}(e^{-f}\nabla h)$ là một divergence thuần túy. Viết $\Delta f=\Delta_ff+|\nabla f|^2$ biến $\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle$ thành $\langle\nabla f,\nabla\Delta_ff\rangle+2\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)$, và đẳng thức Bochner–Weitzenböck có trọng số $\tfrac12\Delta_f|\nabla f|^2=|\nabla^2f|^2+\langle\nabla f,\nabla\Delta_ff\rangle+(\mathrm{Ric}+\nabla^2f)(\nabla f,\nabla f)$ tách riêng $\langle\nabla f,\nabla\Delta_ff\rangle$. Thay tất cả vào biểu thức Bước 4, mọi số hạng dựng từ $\Delta_f|\nabla f|^2$ tích phân bằng không đối với $e^{-f}dV$ theo tính chất divergence triệt tiêu ở trên, và phần còn lại đúng bằng $\int_M\big[2|\nabla^2f|^2+4\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle\big]e^{-f}dV$.

Bước 6 (hoàn thành bình phương nhờ đẳng thức Bianchi rút gọn). Lấy tích phân từng phần $\langle\mathrm{Ric},\nabla^2f\rangle$ và dùng đẳng thức Bianchi thứ hai rút gọn $\nabla^iR_{ij}=\frac12\nabla_jR$ cho đúng $4\int_M\langle\mathrm{Ric},\nabla^2f\rangle e^{-f}dV=\int_M\big[4\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle\big]e^{-f}dV$ — chính xác là số hạng chéo còn lại từ Bước 5. Thay lại và cộng $2|\mathrm{Ric}|^2$ từ Bước 3, biểu thức dưới dấu tích phân ghép thành một bình phương hoàn chỉnh: $2|\mathrm{Ric}|^2+4\langle\mathrm{Ric},\nabla^2f\rangle+2|\nabla^2f|^2=2|\mathrm{Ric}+\nabla^2f|^2$.

Kết luận. Do đó $\frac{d}{dt}\mathcal{F}(g,f)=2\int_M|R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf|^2e^{-f}dV\ge0$, một tổng bình phương đối với trọng số dương $e^{-f}dV$, nên $\mathcal{F}$ không giảm dọc theo dòng chảy ghép cặp, và nó hằng trên một khoảng đúng khi $R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf\equiv0$ trên đó, tức đúng trên các soliton Ricci gradient tĩnh. $\blacksquare$