Sự tuyệt chủng trong thời gian hữu hạn của dòng Ricci có phẫu thuật

Bước 1 (bất đẳng thức Cauchy–Schwarz đặc thù chiều 3). Tại một điểm của đa tạp 3 chiều, tenxơ Ricci là một ma trận đối xứng $3\times3$ với các trị riêng $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$, và $R=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz (trung bình lũy thừa) trên ba số cho $(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2\le3(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2)$, tức $|\mathrm{Ric}|^2\ge R^2/3$, đẳng thức xảy ra đúng tại các điểm Einstein ($\mathrm{Ric}=\tfrac{R}{3}g$). Bất đẳng thức này đặc thù cho chiều 3 và chính là điều cho phép lập luận khép lại chỉ bằng độ cong vô hướng $R$.

**Bước 2 (bất đẳng thức vi phân cho $R$).** Thay vào công thức tiến triển của Hamilton $\partial_tR=\Delta R+2|\mathrm{Ric}|^2$ cho $\partial_tR=\Delta R+2|\mathrm{Ric}|^2\ge\Delta R+\tfrac23R^2$.

Bước 3 (nguyên lý cực đại tại điểm cực tiểu). Đặt $R_{\min}(t)=\min_{x\in M}R(x,t)$. Tại điểm mà cực tiểu không gian của $R$ đạt được, $\Delta R\ge0$ (kiểm tra đạo hàm cấp hai), nên bất đẳng thức vi phân ở Bước 2 buộc $\frac{d}{dt}R_{\min}\ge\frac23R_{\min}^2$ theo nghĩa hàng rào (nguyên lý cực đại của Hamilton cho các cực tiểu tiến triển dưới dòng Ricci). Phẫu thuật chỉ ghép vào các mêtric có độ cong ít nhất bằng ngưỡng phẫu thuật, nên nó không bao giờ có thể hạ $R_{\min}$ xuống thấp hơn giá trị trước đó; do đó bất đẳng thức vi phân này duy trì qua hữu hạn các thời điểm phẫu thuật.

Bước 4 (giải phương trình vi phân mô hình). Giải $y'=\tfrac23y^2$, $y(0)=r_0>0$, bằng tách biến: $\int y^{-2}dy=\int\tfrac23dt$ cho $-\tfrac1y=\tfrac23t-\tfrac1{r_0}$, tức $\tfrac1{y(t)}=\tfrac1{r_0}-\tfrac23t$, tức $y(t)=\dfrac{r_0}{1-\frac23 r_0 t}$. Đây chính xác là độ cong vô hướng của một mặt cầu tròn co lại với kích thước ban đầu tương ứng, và $y(t)\to+\infty$ đúng lúc mẫu số triệt tiêu, tại $t=T$, với $T=\dfrac{3}{2r_0}$.

Bước 5 (so sánh). Vì $R_{\min}(t)$ thỏa $\frac{d}{dt}R_{\min}\ge\tfrac23R_{\min}^2$ trong khi $y(t)$ thỏa phương trình này với dấu bằng và cùng giá trị ban đầu $r_0$, nguyên lý so sánh phương trình vi phân cho $R_{\min}(t)\ge y(t)$ chừng nào cả hai còn xác định. Vì $y(t)\to+\infty$ khi $t\to T^-$, $R_{\min}(t)$ phải đã thoát ra $+\infty$ tại hoặc trước $T$: dòng chảy không thể tiếp tục trơn quá $T$ mà không làm độ cong bùng nổ, nên phẫu thuật phải can thiệp không muộn hơn $T$.

Bước 6 (từ bùng nổ tới tuyệt chủng). Một thành phần mà trên đó $R_{\min}\to\infty$, so sánh với mặt cầu co lại mô hình ở Bước 4, đang co lại về thể tích không ở khắp nơi nhanh ít nhất như vậy; không còn chỗ để nó tồn tại quá $T$. Vì $M$ đơn liên, hình học hóa không cho phép mảnh nào có độ cong không dương (các mảnh $\mathbb{H}^3$, $\mathrm{Nil}$, $\mathrm{Sol}$, $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$, $\widetilde{\mathrm{SL}_2\mathbb{R}}$ đều buộc một nhóm cơ bản không tầm thường lên một đa tạp 3 chiều compact), nên không còn mảnh hình học nào sống sót một khi các mảnh độ cong dương đã co lại hết: mọi thành phần liên thông có mặt tại thời điểm $t$ đều buộc phải biến mất qua phẫu thuật không muộn hơn thời điểm $T=\tfrac{3}{2r_0}$, tức dòng chảy có phẫu thuật tuyệt chủng trước $T$. $\blacksquare$