Hàm tử giữ nguyên đẳng cấu

Vì $f$ và $g$ nghịch đảo lẫn nhau, $g \circ f = 1_A$ và $f \circ g = 1_B$.

Áp $F$ lên phương trình đầu. Hàm tử giữ phép hợp, nên $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$; hàm tử giữ đơn vị, nên $F(1_A) = 1_{F(A)}$. Kết hợp với $g \circ f = 1_A$ cho $F(g) \circ F(f) = 1_{F(A)}$.

Áp $F$ lên phương trình thứ hai tương tự: $F(f \circ g) = F(f) \circ F(g)$ và $F(1_B) = 1_{F(B)}$, nên từ $f \circ g = 1_B$ ta được $F(f) \circ F(g) = 1_{F(B)}$.

Hai phương trình trên nói chính xác rằng $F(g)$ là nghịch đảo hai phía của $F(f)$. Một cấu xạ có nghịch đảo hai phía là một đẳng cấu, nên $F(f) : F(A) \to F(B)$ là một đẳng cấu với nghịch đảo $F(g)$, như đã khẳng định.