Đối tượng cuối là duy nhất sai khác một đẳng cấu duy nhất

Vì $T_2$ là đối tượng cuối, mọi đối tượng — riêng $T_1$ — có đúng một cấu xạ vào nó; gọi là $u : T_1 \to T_2$. Vì $T_1$ là đối tượng cuối, đối xứng, có đúng một $v : T_2 \to T_1$.

Xét hợp $v \circ u : T_1 \to T_1$. Vì $T_1$ là đối tượng cuối, có đúng một cấu xạ $T_1 \to T_1$, và $1_{T_1}$ là một cấu xạ như vậy; vì $v \circ u$ cũng là một cấu xạ $T_1 \to T_1$, tính duy nhất buộc $v \circ u = 1_{T_1}$.

Bằng lập luận đối xứng dùng tính đối tượng cuối của $T_2$, hợp $u \circ v : T_2 \to T_2$ phải bằng $1_{T_2}$: $u \circ v = 1_{T_2}$.

Một cấu xạ có nghịch đảo hai phía theo định nghĩa là một đẳng cấu, nên $u$ là một đẳng cấu $T_1 \cong T_2$ với nghịch đảo $v$. Nó là cấu xạ duy nhất $T_1 \to T_2$ vì tính đối tượng cuối của $T_2$ đã nói chỉ có đúng một cấu xạ như vậy — $u$ bị buộc phải như thế từ đầu, và nó chỉ đơn giản là hoá ra khả nghịch.