Tính vô tỉ của $\sqrt{2}$

Giả sử, để phản chứng, rằng $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ. Khi đó ta có thể viết $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ với các số nguyên $p,q$ và $q \neq 0$, và bằng cách rút gọn thừa số chung ta có thể giả sử $\gcd(p,q)=1$ (phân số ở dạng tối giản).

Bình phương hai vế cho $2 = \frac{p^2}{q^2}$, nên $p^2 = 2q^2$. Điều này có nghĩa $p^2$ là số chẵn. Vì bình phương của số lẻ là số lẻ, nên $p$ phải là số chẵn; viết $p = 2k$ với số nguyên $k$ nào đó.

Thay lại, $(2k)^2 = 2q^2$, nên $4k^2 = 2q^2$, rút gọn thành $q^2 = 2k^2$. Điều này có nghĩa $q^2$ là số chẵn, nên bằng cùng lập luận $q$ cũng phải là số chẵn.

Nhưng giờ cả $p$ và $q$ đều chẵn, nên $2$ chia hết cả hai, mâu thuẫn với giả thiết $\gcd(p,q)=1$. Mâu thuẫn này cho thấy giả thiết ban đầu — rằng $\sqrt{2}$ có thể viết thành $\frac{p}{q}$ — phải sai. Do đó $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.