Tính tuyến tính của kỳ vọng cho tổng hàm chỉ báo

Viết $X = \sum_{i=1}^m \mathbb{1}[A_i]$ trong đó $\mathbb{1}[A_i]$ bằng $1$ nếu $A_i$ xảy ra và $0$ nếu không. Kỳ vọng vốn được định nghĩa như một tổng (hay tích phân) trên các kết quả có trọng số là xác suất, và tổng này luôn có tính cộng trên một danh sách hữu hạn các biến ngẫu nhiên — điều này đúng bất kể các biến có độc lập hay không, vì tính cộng của kỳ vọng không hề dùng tới độc lập, chỉ dùng việc ta đang cộng trên cùng một độ đo xác suất.

Cụ thể, $\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^m \mathbb{1}[A_i]\right] = \sum_{i=1}^m \mathbb{E}[\mathbb{1}[A_i]]$ theo tính cộng của kỳ vọng trên một tổng hữu hạn các biến ngẫu nhiên.

Cuối cùng, với bất kỳ biến chỉ báo nào, $\mathbb{E}[\mathbb{1}[A_i]] = 1 \cdot \Pr[A_i] + 0 \cdot \Pr[\overline{A_i}] = \Pr[A_i]$. Thay vào tổng trên cho đúng $\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^m \Pr[A_i]$, không cần bất kỳ giả thiết nào về quan hệ giữa các $A_i$.