Phân rã tổng bình phương và chặn của $R^2$

Hai phương trình chuẩn từ định lý bình phương tối thiểu ở trên cho $\sum_{i=1}^n e_i=0$ và $\sum_{i=1}^n x_ie_i=0$, với $e_i=y_i-\hat y_i$. Vì $\hat y_i=\hat\beta_0+\hat\beta_1x_i$ là tổ hợp tuyến tính của $1$ và $x_i$, hai phương trình chuẩn kết hợp cho $\sum_{i=1}^n e_i\hat y_i=\hat\beta_0\sum_{i=1}^n e_i+\hat\beta_1\sum_{i=1}^n x_ie_i=0$. Kết hợp với $\sum e_i=0$, ta được $\sum_{i=1}^n e_i(\hat y_i-\bar y)=\sum e_i\hat y_i-\bar y\sum e_i=0$.

Bây giờ khai triển $SST=\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2=\sum_{i=1}^n\big((y_i-\hat y_i)+(\hat y_i-\bar y)\big)^2=\sum e_i^2+2\sum e_i(\hat y_i-\bar y)+\sum(\hat y_i-\bar y)^2$. Số hạng chéo triệt tiêu do tính trực giao vừa chứng minh, còn lại $SST=SSE+SSR$.

Vì $SSE=\sum e_i^2\ge0$ và $SSR=\sum(\hat y_i-\bar y)^2\ge0$, chia $SST=SSR+SSE$ cho $SST>0$ cho $R^2=SSR/SST\in[0,1]$.

Cuối cùng, $\hat y_i-\bar y=\hat\beta_1(x_i-\bar x)$ (vì $\hat y_i=\hat\beta_0+\hat\beta_1x_i$ và $\bar y=\hat\beta_0+\hat\beta_1\bar x$), nên $SSR=\hat\beta_1^2S_{xx}$. Thay $\hat\beta_1=S_{xy}/S_{xx}$ cho $SSR=S_{xy}^2/S_{xx}$, và vì $SST=S_{yy}=\sum(y_i-\bar y)^2$, $R^2=\dfrac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}=\left(\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}\right)^2=r^2$, bình phương hệ số tương quan mẫu.