Bậc chính xác của phương pháp Runge–Kutta cổ điển

Khai triển mỗi giai đoạn thành chuỗi Taylor quanh $(t_n, y_n)$. Vì $k_1=f(t_n,y_n)=y'(t_n)$, và $k_2, k_3$ tính $f$ tại điểm giữa dùng $y_n$ dịch chuyển nửa bước theo hướng của một giai đoạn trước, thay quy tắc dây chuyền cho $y'=f$, $y''=f_t+f_yf$, và $y'''=f_{tt}+2f_{ty}f+f_{yy}f^2+f_y(f_t+f_yf)$ vào từng $k_i$ tạo ra bốn đa thức theo $h$ khớp với $y'(t_n), y''(t_n), y'''(t_n)$ tới bậc mà mỗi giai đoạn có thể thấy được.

Lập tổ hợp có trọng số $\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$ rồi nhân với $h$, các hệ số của $h^1, h^2, h^3$ và $h^4$ trong tổng này chính xác là các hệ số của khai triển Taylor $y(t_n+h) = y(t_n) + hy'(t_n) + \frac{h^2}{2}y''(t_n) + \frac{h^3}{6}y'''(t_n) + \frac{h^4}{24}y^{(4)}(t_n) + \cdots$ tới tận số hạng $h^4$ — đây chính xác là tập điều kiện bậc cổ điển mà các hệ số $c=(0,\frac12,\frac12,1)$ và $b=(\frac16,\frac13,\frac13,\frac16)$ của bảng RK4 được chọn để thỏa mãn.

Vì hai chuỗi khớp nhau tới $h^4$, số hạng đầu tiên chúng có thể khác nhau là số hạng $O(h^5)$, nên sai số cắt cụt cục bộ là $O(h^5)$ mỗi bước. Như trong trường hợp Euler, cộng dồn các sai số cục bộ này qua $n\approx (T-t_0)/h$ bước cần thiết để tới một thời điểm cố định, dùng điều kiện Lipschitz trên $f$, làm mất đúng một bậc của $h$, cho sai số toàn cục $O(h^4)$.