Trường hợp riêng $k=3$: định lý Roth

Bước 1 (đếm cấp số cộng bằng Fourier). Giả sử $A \subseteq \{1,\dots,N\}$ có mật độ $\delta$ và không có cấp số cộng 3 số hạng không tầm thường nào. Viết $\hat{1_A}(\theta) = \sum_{n \in A} e(\theta n)$ là biến đổi Fourier của hàm chỉ thị của $A$, số bộ ba $(x, x+r, x+2r) \in A^3$ có thể viết thành tích phân của $\hat{1_A}(\theta)^2 \, \overline{\hat{1_A}(2\theta)}$ theo $\theta$.

Bước 2 (trường hợp giống ngẫu nhiên). Nếu mọi hệ số Fourier khác không của $1_A$ đều nhỏ so với $\delta^2$, tích phân sẽ bị chi phối chỉ bởi số hạng $\theta = 0$, điều này đã buộc có khoảng $\delta^3 N^2$ bộ ba — nhiều hơn hẳn các bộ ba tầm thường — mâu thuẫn với giả thiết $A$ không có bộ ba nào.

Bước 3 (tăng mật độ). Vậy phải có hệ số khác không nào đó lớn; nghĩa là $1_A$ tương quan với pha tuyến tính $e(\theta n)$, tức $A$ lệch đáng kể trên một cấp số cộng (hay tập Bohr) nào đó. Hạn chế vào cấp số cộng con đó cho một khoảng ngắn hơn mà mật độ của $A$ đã tăng lên theo một hệ số nhân cố định.

Bước 4 (lặp và kết luận). Mật độ không thể vượt quá 1, nên sau hữu hạn vòng lặp bước tăng mật độ, quá trình phải dừng lại — nghĩa là trường hợp giống ngẫu nhiên ở Bước 2 cuối cùng bị buộc xảy ra, cho ra cấp số cộng 3 số hạng còn thiếu, mâu thuẫn với giả thiết không có. Cách tính toán gốc của Roth cho ngưỡng dạng $N(3,\delta) \lesssim \exp(\exp(1/\delta))$; cận này được cải thiện qua nhiều thập kỷ, và lập luận năm 2023 của Kelley và Meka đưa cận xuống gần với xây dựng cổ điển của Behrend, mật độ dạng $N(3,\delta) \lesssim \exp\!\big(-c(\log N)^{1/12}\big) N$, gần như khép lại khoảng cách cho trường hợp này.