Bổ đề Milnor–Švarc

Cố định $x_0 \in X$ và, dùng tính compact của $X/G$, chọn $R$ đủ lớn sao cho các ảnh qua $G$ của hình cầu đóng $\bar B(x_0,R)$ phủ kín $X$. Đặt $S = \{\, g \in G : g \ne e,\ d_X(x_0,gx_0) \le 2R+1 \,\}$, một tập hữu hạn do tính gián đoạn chặt. Để thấy $S$ sinh ra $G$: với $g \in G$ cho trước, đánh dấu các điểm $x_0 = g_0 x_0, g_1 x_0, \dots, g_n x_0 = g x_0$ cách nhau không quá $2R$ dọc theo một đường trắc địa từ $x_0$ đến $g x_0$; mỗi cặp liên tiếp thỏa $d_X(g_{i-1}x_0, g_i x_0) \le 2R$, nên $g_{i-1}^{-1} g_i \in S$, và nhân $n \le d_X(x_0, g x_0)/(2R) + 1$ phần tử này của $S$ lại cho ta $g$. Do đó $d_S(e,g) \le C_1\, d_X(x_0,gx_0) + C_1$ với hằng số $C_1$ chỉ phụ thuộc $R$. Ngược lại, mỗi phần tử sinh di chuyển $x_0$ không quá $2R+1$, nên $d_X(x_0,gx_0) \le (2R+1)\, d_S(e,g)$. Hai bất đẳng thức này cho thấy $g \mapsto g x_0$ là một phép nhúng tựa đẳng cự $(\lambda,\varepsilon)$ với $\lambda,\varepsilon$ thích hợp, và tính compact thương (mọi điểm của $X$ cách một ảnh qua $G$ của $x_0$ không quá $R$) khiến ảnh của nó trù mật thô — vậy nó là một tựa đẳng cự, và vì nó xác định trên toàn bộ $G$, tập hữu hạn $S$ sinh ra $G$.