Công thức thặng dư tại cực điểm bậc $m$

Bước 1 (Viết tường minh chuỗi Laurent). Vì $f$ có cực điểm bậc $m$ tại $z_0$, chuỗi Laurent của nó có dạng $f(z) = \dfrac{a_{-m}}{(z-z_0)^m} + \cdots + \dfrac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots$ với $a_{-m} \neq 0$.

Bước 2 (Triệt tiêu cực điểm). Nhân cả hai vế với $(z-z_0)^m$: $g(z) := (z-z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z-z_0) + \cdots + a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + a_0(z-z_0)^m + \cdots$, đây là một chuỗi lũy thừa thông thường, nên $g$ chỉnh hình tại $z_0$.

Bước 3 (Nhận ra hệ số là một đạo hàm). Trong chuỗi lũy thừa này, $a_{-1}$ là hệ số của $(z-z_0)^{m-1}$. Với mọi hàm chỉnh hình $g(z) = \sum_j c_j (z-z_0)^j$, công thức Taylor cho $c_j = \dfrac{g^{(j)}(z_0)}{j!}$, nên $a_{-1} = \dfrac{g^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}$.

Bước 4 (Kết luận). Vì $\mathrm{Res}(f,z_0) = a_{-1}$ và $g^{(m-1)}(z_0) = \lim_{z\to z_0} \dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^m f(z)]$, thay vào cho $\mathrm{Res}(f, z_0) = \dfrac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_0)^m f(z) \right]$. Đặt $m=1$ thu gọn đạo hàm và giai thừa để được $\mathrm{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z)$.