Định lý thặng dư

Bước 1 (Biến dạng đường cong). Theo định lý tích phân Cauchy, $\oint_\gamma f(z)\,dz = 0$ với mọi đường cong kín bao một miền nơi $f$ chỉnh hình. Vì $f$ chỉ không chỉnh hình tại $z_1,\dots,z_n$, hãy bao quanh mỗi $z_k$ bằng một đường tròn nhỏ định hướng dương $C_k$ bán kính $\varepsilon$ đủ nhỏ để các đường tròn rời nhau và nằm trong $\gamma$. Cắt các khe từ $\gamma$ tới mỗi $C_k$ biến miền giữa $\gamma$ và các $C_k$ thành một miền đơn liên nơi $f$ chỉnh hình, nên tích phân trên biên miền đó bằng $0$; đóng góp của các khe triệt tiêu từng cặp, để lại $\oint_\gamma f(z)\,dz = \sum_{k} \oint_{C_k} f(z)\,dz$.

Bước 2 (Tính từng đường tròn nhỏ). Cố định $k$ và khai triển $f$ thành chuỗi Laurent $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$ quanh $z_k$, có hiệu lực trên đĩa thủng chứa $C_k$. Mọi số hạng $a_n(z-z_k)^n$ với $n \neq -1$ có nguyên hàm đơn trị trên đĩa thủng, nên tích phân của nó quanh đường tròn kín $C_k$ bằng $0$; chỉ số hạng $a_{-1}(z-z_k)^{-1}$ còn sót lại.

Bước 3 (Tính tích phân còn sót). Tham số hóa $C_k$ bởi $z = z_k + \varepsilon e^{i\theta}$ với $\theta \in [0, 2\pi]$, nên $dz = i\varepsilon e^{i\theta}\,d\theta$ và $\dfrac{dz}{z-z_k} = i\,d\theta$. Khi đó $\oint_{C_k} \dfrac{a_{-1}}{z-z_k}\,dz = a_{-1} \int_0^{2\pi} i\,d\theta = 2\pi i\, a_{-1} = 2\pi i\, \mathrm{Res}(f, z_k)$.

Bước 4 (Cộng lại). Thay Bước 3 vào đẳng thức của Bước 1 cho $\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \mathrm{Res}(f, z_k)$, chính là định lý thặng dư.