Sự tồn tại nghiệm không tầm thường

Theo định lý xấp xỉ Dirichlet, với mọi số nguyên $Q>0$ tồn tại số nguyên $p,q$ với $1\le q\le Q$ và $\left|\sqrt d - \frac{p}{q}\right|<\frac{1}{qQ}$. Cho $Q\to\infty$ sinh ra vô hạn cặp $(p,q)$ với $\left|\sqrt d-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}$.

Với mỗi cặp như vậy, $|p-q\sqrt d|<\frac{1}{q}$, nên $|p^2-dq^2|=|p-q\sqrt d|\cdot|p+q\sqrt d|<\frac{1}{q}\left(2q\sqrt d+\frac{1}{q}\right)<2\sqrt d+1$. Vậy $p^2-dq^2$ chỉ nhận một trong hữu hạn giá trị nguyên trong $(-2\sqrt d-1,\,2\sqrt d+1)$, trong khi có vô hạn cặp $(p,q)$.

Theo nguyên lý chuồng bồ câu, một số nguyên khác không cố định $k$ trong khoảng hữu hạn đó thỏa $p^2-dq^2=k$ với vô hạn cặp $(p,q)$. Trong vô hạn cặp này, lại theo chuồng bồ câu, vô hạn cặp có cùng lớp dư $p\equiv p_0,\ q\equiv q_0\pmod{|k|}$.

Lấy hai cặp phân biệt $(p_1,q_1)\neq(p_2,q_2)$ như vậy với $p_1^2-dq_1^2=p_2^2-dq_2^2=k$ và cùng lớp dư theo môđun $|k|$. Đặt $x+y\sqrt d = \frac{(p_1+q_1\sqrt d)(p_2-q_2\sqrt d)}{k}$; khai triển cho thấy $x=\frac{p_1p_2-dq_1q_2}{k}$ và $y=\frac{p_1q_2-p_2q_1}{k}$ thực sự là số nguyên chính vì cùng lớp dư theo môđun $|k|$, và tính nhân của chuẩn $N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2$ cho $x^2-dy^2=\frac{k\cdot k}{k^2}=1$. Vì $(p_1,q_1)\neq(p_2,q_2)$ nhưng chúng cho cùng tỉ số ở giới hạn, kiểm tra được $y\neq 0$, và thay $(x,y)$ bằng $(|x|,|y|)$ (vẫn là nghiệm, vì chỉ xuất hiện bình phương) cho một nghiệm nguyên dương.