Tổng cấp số nhân, hữu hạn và vô hạn

Bắt đầu từ định nghĩa $S_n = u_1+u_1q+u_1q^2+\cdots+u_1q^{n-1}$. Nhân cả hai vế với $q$: $qS_n = u_1q+u_1q^2+\cdots+u_1q^{n-1}+u_1q^n$. Mọi số hạng của $qS_n$, trừ số hạng cuối $u_1q^n$, đều đã xuất hiện trong $S_n$ nhưng lệch đi một vị trí.

Lấy hiệu: $S_n-qS_n$ triệt tiêu mọi số hạng chung $u_1q,u_1q^2,\dots,u_1q^{n-1}$, chỉ còn lại số hạng đầu của $S_n$ (là $u_1$) trừ số hạng cuối của $qS_n$ (là $u_1q^n$). Điều này cho đúng $(1-q)S_n = u_1 - u_1 q^n$, nghĩa là $(1-q)S_n=u_1-u_1q^n$.

Nếu $q\neq 1$, chia cả hai vế cho $1-q$ (hợp lệ vì $1-q\neq 0$) ta được $S_n = u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}\quad (q\neq 1)$. Nếu ngược lại $q=1$, đẳng thức kính viễn vọng trở thành $0\cdot S_n=0$, không cho thông tin gì, nên trường hợp này phải xử lý trực tiếp từ định nghĩa: mọi số hạng đều bằng $u_1$, nên $S_n=nu_1$.

Cuối cùng, xét $|q|<1$ và cho $n\to\infty$ trong công thức $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$: vì $|q|<1$ kéo theo $q^n\to 0$ khi $n$ tăng, tử số $1-q^n\to 1$, nên $S_n\to \dfrac{u_1}{1-q}$. Giới hạn này chính là $S = \dfrac{u_1}{1-q}\quad (|q|<1)$, tổng của cấp số nhân vô hạn; còn nếu $|q|\geq 1$ thì $q^n$ không co về $0$ (nó tăng hoặc giữ độ lớn không đổi), nên trong trường hợp đó tổng vô hạn không tồn tại như một số hữu hạn.