Định lý Sylvester–Gallai (chứng minh khoảng cách nhỏ nhất của Kelly)

Bước 1 (thiết lập lựa chọn cực hạn). Cho $P$ là tập hữu hạn đã cho gồm $n \ge 3$ điểm, không thẳng hàng tất cả. Xét tập hữu hạn các cặp $(Q, \ell)$ trong đó $\ell$ là đường thẳng đi qua ít nhất $2$ điểm của $P$ và $Q \in P$ là một điểm không nằm trên $\ell$. Tập này không rỗng (vì $P$ không thẳng hàng tất cả) và hữu hạn, nên theo nguyên lý cực hạn ta có thể chọn một cặp $(Q_0, \ell_0)$ làm khoảng cách $d(Q_0, \ell_0)$ từ điểm đến đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất.

Bước 2 (giả sử phản chứng). Giả sử, để phản chứng, rằng $\ell_0$ chứa ít nhất $3$ điểm của $P$. Gọi $F$ là chân đường vuông góc hạ từ $Q_0$ xuống $\ell_0$. Vì có $\ge 3$ điểm của $P$ nằm trên $\ell_0$ và chúng chỉ có thể nằm trên nhiều nhất $2$ tia xuất phát từ $F$ dọc theo $\ell_0$, nguyên lý Dirichlet cho ta hai điểm trong số đó, $B$ và $C$, nằm trên cùng một tia, với $B$ nằm giữa $F$ và $C$ (cho phép $B = F$).

Bước 3 (dựng một cặp gần hơn nhờ tam giác đồng dạng). Hạ đường vuông góc từ $B$ xuống đường thẳng $Q_0C$, chân là $G$. Hai tam giác vuông $\triangle BGC$ và $\triangle Q_0FC$ có chung góc tại $C$, nên chúng đồng dạng, cho ta $\dfrac{BG}{Q_0F} = \dfrac{BC}{Q_0C}$. Vì $B$ nằm giữa $F$ và $C$ nên $BC \le FC$, và vì $\triangle Q_0FC$ vuông tại $F$ nên cạnh huyền thỏa $FC < Q_0C$; kết hợp lại, $BC < Q_0C$, do đó $BG < Q_0F = d(Q_0, \ell_0)$.

Bước 4 (mâu thuẫn). Đường thẳng $Q_0C$ đi qua $2$ điểm của $P$ (cụ thể là $Q_0$ và $C$), và $B$ là một điểm của $P$ không nằm trên đó, nên $(B, Q_0C)$ là một cặp hợp lệ trong tập hữu hạn của ta với $d(B, Q_0C) = BG < d(Q_0, \ell_0)$, mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của $(Q_0, \ell_0)$.

Bước 5 (kết luận). Mâu thuẫn này cho thấy $\ell_0$ không thể chứa $3$ điểm trở lên của $P$; vì nó được chọn chứa ít nhất $2$ điểm, nên nó chứa đúng $2$ điểm, vậy $\ell_0$ chính là đường thẳng thường cần tìm.