Bài 1

Cho

x_1,x_2,\ldots,x_n

là các số thực dương và

S=x_1+x_2+\cdots+x_n

. Chứng minh

(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}

Bước 2 trên 4: So sánh từng lũy thừa của S với tổng đối xứng tương ứng

Bước trước Bước tiếp

S^k=(x_1+\cdots+x_n)^k\ge k!e_k\qquad(1\le k\le n)

Phân tích chi tiết

Cố định một tập gồm $k$ chỉ số khác nhau. Tích $x_{i_1}\cdots x_{i_k}$ xuất hiện trong $S^k$ một lần cho mỗi hoán vị của các chỉ số đó, tức ít nhất $k!$ lần. Các hạng khác đều dương, nên cộng trên mọi tập chỉ số được $S^k\ge k!e_k$ .