MathLabs

Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1990

Đề thi

  1. Bài 1Trong tam giác ABCABC, gọi D,E,FD,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA,ABBC,CA,AB, còn GG là trọng tâm. Với mỗi giá trị của ∠BAC\angle BAC, có bao nhiêu tam giác đôi một không đồng dạng sao cho AEGFAEGF là một tứ giác nội tiếp?Các cách giải: 1
  2. Bài 2Cho a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n là các số thực dương và gọi SrS_r là tổng của mọi tích gồm rr số trong chúng. Chứng minh rằng SkSn−k≥(nk) ⁣2SnS_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n với k=1,2,…,n−1k=1,2,\ldots,n-1.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Xét mọi tam giác ABCABC có đáy ABAB cố định và đường cao từ CC bằng hằng số hh. Tam giác nào trong số đó làm tích ba đường cao đạt giá trị lớn nhất?Các cách giải: 1
  4. Bài 4Cho G là một đồ thị có n đỉnh, thỏa mãn: (i) không đỉnh nào nối với tất cả các đỉnh còn lại; (ii) đồ thị không chứa tam giác; (iii) với mọi hai đỉnh không kề nhau A và B, có đúng một đỉnh C kề với cả hai. Chứng minh mọi đỉnh có cùng bậc và tìm n nhỏ nhất có thể.Các cách giải: 1
  5. Bài 5Chứng minh rằng với mọi số nguyên n>=6, tồn tại một lục giác lồi có thể được chia thành đúng n tam giác bằng nhau.Các cách giải: 1