MathLabs

Bài 1

Trong tam giác ABCABC, gọi D,E,FD,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA,ABBC,CA,AB, còn GG là trọng tâm. Với mỗi giá trị của ∠BAC\angle BAC, có bao nhiêu tam giác đôi một không đồng dạng sao cho AEGFAEGF là một tứ giác nội tiếp?
Bước 5 trên 5: Đếm các tam giác không đồng dạng
Bước trướcBước tiếp
A=60∘:AB=AC;A<60∘:r+1r=4cos⁡A has two reciprocal rootsA=60^\circ: AB=AC;\qquad A<60^\circ: r+\frac1r=4\cos A\text{ has two reciprocal roots}
Phân tích chi tiết

Khi A=60∘A=60^\circ, dấu bằng trong AM–GM buộc AB=ACAB=AC, nên có đúng một lớp đồng dạng của tam giác đều. Khi A<60∘A<60^\circ, đặt r=AB/ACr=AB/AC; phương trình r+1/r=4cos⁡A>2r+1/r=4\cos A>2 có hai nghiệm dương là nghịch đảo của nhau. Đổi chỗ B,CB,C sẽ đổi chỗ hai nghiệm và cho các tam giác đồng dạng, nên chỉ còn đúng một tam giác không đồng dạng. Vậy đáp án là 00 khi A>60∘A>60^\circ và 11 với mọi A≤60∘A\le60^\circ.