MathLabs

Bài 2

Cho a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n là các số thực dương và gọi SrS_r là tổng của mọi tích gồm rr số trong chúng. Chứng minh rằng SkSn−k≥(nk) ⁣2SnS_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n với k=1,2,…,n−1k=1,2,\ldots,n-1.
Bước 3 trên 4: Viết lại hai thừa số theo cùng một tập chỉ số
Bước trướcBước tiếp
SkSn−k=(∑∣I∣=kaI)(∑∣I∣=kaIc)S_kS_{n-k}=\left(\sum_{|I|=k}a_I\right)\left(\sum_{|I|=k}a_{I^c}\right)
Phân tích chi tiết

Phép lấy phần bù là một song ánh từ các tập kk phần tử sang các tập (n−k)(n-k) phần tử. Vì vậy tổng đối xứng thứ hai cũng có thể được đánh chỉ số bởi cùng các tập kk phần tử, cho ta tích hiển thị.