MathLabs

Bài 2

Cho a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n là các số thực dương và gọi SrS_r là tổng của mọi tích gồm rr số trong chúng. Chứng minh rằng SkSn−k≥(nk) ⁣2SnS_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n với k=1,2,…,n−1k=1,2,\ldots,n-1.
Bước 4 trên 4: Áp dụng Cauchy–Schwarz và kết thúc chứng minh
Bước trướcBước tiếp
SkSn−k≥(∑∣I∣=kaIaIc)2=(nk)2SnS_kS_{n-k}\ge\left(\sum_{|I|=k}\sqrt{a_Ia_{I^c}}\right)^2=\binom nk^2S_n
Phân tích chi tiết

Dạng Cauchy–Schwarz (∑xI)(∑yI)≥(∑xIyI)2(\sum x_I)(\sum y_I)\ge(\sum\sqrt{x_Iy_I})^2 cho bất đẳng thức đầu tiên. Theo đẳng thức về phần bù, mọi căn đều bằng Sn\sqrt{S_n} và có (nk)\binom nk hạng. Do đó SkSn−k≥(nk)2SnS_kS_{n-k}\ge\binom nk^2S_n.