MathLabs

Bài 4

Tìm tất cả các số nguyên dương nn sao cho phương trình xn+(2+x)n+(2−x)n=0x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0 có nghiệm nguyên.
Bước 3 trên 6: Buộc x chẵn khi n>1 lẻ
Bước trướcBước tiếp
n>1 odd⟹x is even,x=2yn>1\text{ odd}\Longrightarrow x\text{ is even},\qquad x=2y
Phân tích chi tiết

Với n>1n>1 lẻ, nếu xx lẻ thì 2+x2+x và 2−x2-x cũng lẻ, nên tổng của ba lũy thừa lẻ là lẻ và không thể bằng 0. Do đó xx chẵn; viết x=2yx=2y. Chia phương trình cho 2n2^n được yn+(1+y)n+(1−y)n=0y^n+(1+y)^n+(1-y)^n=0.