Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1993

Đề thi

Bài 1Cho tứ giác $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng nhau và $\angle ABC=60^\circ$ . Gọi $\ell$ là đường thẳng qua $D$ , không cắt tứ giác ở điểm nào khác $D$ . Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm của $\ell$ với $AB,BC$ , và đặt $M=CE\cap AF$ . Chứng minh rằng $CA^2=CM\cdot CE$ .Các cách giải: 1
Bài 2Tìm tổng số giá trị nguyên khác nhau của $f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\left\lfloor\frac{5x}{3}\right\rfloor+\lfloor3x\rfloor+\lfloor4x\rfloor$ khi $x$ là số thực và $0\le x\le100$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ và $g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0$ là các đa thức khác không với hệ số thực, thỏa mãn $g(x)=(x+r)f(x)$ với một số thực $r$ . Nếu $a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)$ và $c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|)$ , hãy chứng minh rằng $\frac{a}{c}\le n+1$ .Các cách giải: 1
Bài 4Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phương trình $x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0$ có nghiệm nguyên.Các cách giải: 1
Bài 5Cho $P_1,P_2,\ldots,P_{1993}=P_0$ là các điểm phân biệt trong mặt phẳng $xy$ có tọa độ nguyên. Giả sử với mọi $i=0,1,\ldots,1992$ , trên đoạn $P_iP_{i+1}$ không có điểm nào khác $P_i$ và $P_{i+1}$ mà cả hai tọa độ đều nguyên. Chứng minh rằng với một $i$ , $0\le i\le1992$ , tồn tại điểm $Q=(q_x,q_y)$ trên $P_iP_{i+1}$ sao cho cả $2q_x$ và $2q_y$ đều là số nguyên lẻ.Các cách giải: 1