MathLabs

Bài 1

Tìm tất cả các dãy số thực (a1,a2,…,a1995)(a_1,a_2,\ldots,a_{1995}) thỏa 2an−(n−1)≥an+1−(n−1)2\sqrt{a_n-(n-1)}\ge a_{n+1}-(n-1) với n=1,2,…,1994n=1,2,\ldots,1994, và 2a1995−1994≥a1+12\sqrt{a_{1995}-1994}\ge a_1+1.
Bước 3 trên 4: Hoàn thành bình phương và buộc có đẳng thức
Bước trướcBước tiếp
0≥∑n=11995(xn−2xn+1)=∑n=11995(xn−1)2≥00\ge\sum_{n=1}^{1995}(x_n-2\sqrt{x_n}+1)=\sum_{n=1}^{1995}(\sqrt{x_n}-1)^2\ge0
Phân tích chi tiết

Chuyển vế bất đẳng thức tổng cho cận trái. Vì xn−2xn+1=(xn−1)2≥0x_n-2\sqrt{x_n}+1=(\sqrt{x_n}-1)^2\ge0, hai cận chỉ có thể đồng thời đúng khi mọi bình phương đều bằng không. Do đó xn=1x_n=1 với mọi nn.