MathLabs

Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1995

Đề thi

  1. Bài 1Tìm tất cả các dãy số thực (a1,a2,…,a1995)(a_1,a_2,\ldots,a_{1995}) thỏa 2an−(n−1)≥an+1−(n−1)2\sqrt{a_n-(n-1)}\ge a_{n+1}-(n-1) với n=1,2,…,1994n=1,2,\ldots,1994, và 2a1995−1994≥a1+12\sqrt{a_{1995}-1994}\ge a_1+1.Các cách giải: 1
  2. Bài 3Cho tứ giác nội tiếp PQRSPQRS sao cho hai đường thẳng PQPQ và RSRS không song song. Gọi A\mathcal A là tập các tiếp điểm của một đường tròn qua P,QP,Q và một đường tròn qua R,SR,S. Hãy xác định A\mathcal A.Các cách giải: 1
  3. Bài 4Cho CC là đường tròn bán kính RR, tâm OO, và SS là điểm cố định bên trong. Cho AA′AA' và BB′BB' là hai dây vuông góc đi qua SS. Lập các hình chữ nhật SAMBSAMB, SB′N′A′SB'N'A', SA′M′B′SA'M'B' và SBNASBNA. Xác định quỹ tích của bốn điểm M,N′,M′,NM,N',M',N khi AA chạy trên CC.Các cách giải: 1
  4. Bài 5Tìm số nguyên dương nhỏ nhất kk sao cho tồn tại hàm f:Z→{1,2,…,k}f:\mathbb Z\to\{1,2,\dots,k\} thỏa mãn f(x)≠f(y)f(x)\ne f(y) mỗi khi ∣x−y∣∈{5,7,12}|x-y|\in\{5,7,12\}.Các cách giải: 1