MathLabs

Bài 3

Cho tam giác ABCABC. Phân giác góc AA cắt BCBC tại XX và đường tròn ngoại tiếp tại YY. Đặt rA=AX/AYr_A=AX/AY, định nghĩa tương tự rB,rCr_B,r_C. Chứng minh rA/sin⁡2A+rB/sin⁡2B+rC/sin⁡2C≥3r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3, dấu bằng khi và chỉ khi tam giác đều.
Bước 3 trên 5: Tách các nhân tử có tích bằng một
Bước trướcBước tiếp
sA=sin⁡Bsin⁡Csin⁡2A,sAsBsC=1s_A=\frac{\sin B\sin C}{\sin^2A},\qquad s_As_Bs_C=1
Phân tích chi tiết

Suy ra rA/sin⁡2A=sA/sin⁡2(B+A/2)r_A/\sin^2A=s_A/\sin^2(B+A/2) và các công thức chu kỳ. Theo định nghĩa sAsBsC=1s_As_Bs_C=1, nên AM-GM cho sA+sB+sC≥3s_A+s_B+s_C\ge3.