MathLabs

Bài 3

Cho tam giác ABCABC. Phân giác góc AA cắt BCBC tại XX và đường tròn ngoại tiếp tại YY. Đặt rA=AX/AYr_A=AX/AY, định nghĩa tương tự rB,rCr_B,r_C. Chứng minh rA/sin⁡2A+rB/sin⁡2B+rC/sin⁡2C≥3r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3, dấu bằng khi và chỉ khi tam giác đều.
Bước 5 trên 5: Xét dấu bằng
Bước trướcBước tiếp
A=B=C=60∘A=B=C=60^\circ
Phân tích chi tiết

Dấu bằng đòi hỏi các đẳng thức trong AM-GM và cả ba cận sin đều xảy ra. Các phương trình B+A/2=C+B/2=A+C/2=90∘B+A/2=C+B/2=A+C/2=90^\circ buộc A=B=C=60∘A=B=C=60^\circ; tam giác đều thực sự cho dấu bằng.