MathLabs

Bài 4

Cho P1P_1 và P3P_3 là hai điểm cố định. Điểm P2P_2 nằm trên đường thẳng qua P3P_3 vuông góc với P1P3P_1P_3. Xác định Pn+1P_{n+1} là chân đường vuông góc từ PnP_n xuống đường thẳng Pn−1Pn−2P_{n-1}P_{n-2}. Chứng minh dãy hội tụ đến một điểm PP và tìm quỹ tích của PP khi P2P_2 thay đổi.
Bước 4 trên 5: Giới hạn vị trí trên đường tròn
Bước trướcBước tiếp
P3P5=12P1P3sin⁡2∠P1P_3P_5=\frac12P_1P_3\sin2\angle P_1
Phân tích chi tiết

Gọi các góc liên quan của tam giác P1P2P3P_1P_2P_3 là ∠P1\angle P_1 và ∠P2\angle P_2, cấu tạo cho P3P5=P3P1sin⁡∠P1cos⁡∠P2=(1/2)P3P1sin⁡2∠P1P_3P_5=P_3P_1\sin\angle P_1\cos\angle P_2=(1/2)P_3P_1\sin2\angle P_1. Suy ra ∣P3P5∣≤P1P3/2|P_3P_5|\le P_1P_3/2; cả hai dấu đều xảy ra khi P2P_2 ở hai phía của P3P_3.