アジア太平洋数学オリンピック · 1999年
問題
- 第1問1999 個の実数項からなる等差数列がちょうど n 個の整数を含むことがないような最小の正整数 n を求めよ。解答: 1
- 第2問実数列 a1,a2,... がすべての正整数 i,j に対して a(i+j) <= ai+aj を満たすとする。任意の正整数 n について a1+a2/2+...+an/n >= an を証明せよ。解答: 1
- 第3問2つの円が直線 AB にそれぞれ A, B で接し、X, Y で交わり、X は AB に近いとする。円 AXY の X における接線が円 BXY と W で交わる。半直線 AX と BW の交点を Z とする。BW と BX が円 XYZ の接線であることを証明せよ。解答: 1
- 第4問m の二乗に 4n を加えた数と n の二乗に 4m を加えた数がともに平方数となる整数の組 (m,n) をすべて求めよ。解答: 1
- 第5問平面上の 2n+1 個の点は、3点が一直線上になく、4点が同一円周上にないとする。3点を通り、その内部にちょうど n-1 点を含む円を集合を分割する円と呼ぶ。分割する円の個数が偶数であることと n が偶数であることが同値であることを示せ。解答: 1