Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1999
Đề thi
- Bài 1Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho không có cấp số cộng gồm 1999 số thực nào chứa đúng n số nguyên.Các cách giải: 1
- Bài 2Cho dãy số thực a1,a2,... thỏa mãn a(i+j) <= ai+aj với mọi số nguyên dương i,j. Chứng minh a1+a2/2+...+an/n >= an với mọi số nguyên dương n.Các cách giải: 1
- Bài 3Hai đường tròn tiếp xúc đường thẳng AB lần lượt tại A và B, cắt nhau tại X và Y, trong đó X gần AB hơn. Tiếp tuyến của đường tròn AXY tại X cắt đường tròn BXY tại W. Tia AX cắt BW tại Z. Chứng minh BW và BX là các tiếp tuyến của đường tròn XYZ.Các cách giải: 1
- Bài 4Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) sao cho m bình phương cộng 4n và n bình phương cộng 4m đều là số chính phương.Các cách giải: 1
- Bài 5Một tập gồm 2n+1 điểm trên mặt phẳng không có ba điểm thẳng hàng và không có bốn điểm đồng viên. Một đường tròn chia tập điểm nếu nó đi qua 3 điểm và có đúng n-1 điểm nằm bên trong. Chứng minh số đường tròn chia tập là chẵn khi và chỉ khi n chẵn.Các cách giải: 1