Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2000

Đề thi

Bài 1Tính tổng $S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2}$ với $x_i = \frac{i}{101}$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $9$ vòng tròn xếp dọc theo chu vi của một tam giác, mỗi cạnh của tam giác có $4$ vòng tròn (ba vòng tròn ở ba đỉnh được dùng chung cho hai cạnh kề nhau và mỗi cạnh có hai vòng tròn ở giữa). Người ta viết mỗi số trong các số $1, 2, \ldots, 9$ vào một vòng tròn sao cho mỗi vòng tròn chứa đúng một số và: (i) tổng của bốn số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng nhau; (ii) tổng bình phương của bốn số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng nhau. Tìm tất cả các cách điền số thỏa mãn yêu cầu.Các cách giải: 1
Bài 3Cho tam giác $ABC$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là giao điểm của đường trung tuyến và đường phân giác trong đỉnh $A$ với cạnh $BC$ . Gọi $Q$ và $P$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng vuông góc với $NA$ tại $N$ với $MA$ và $BA$ , và gọi $O$ là giao điểm của đường thẳng vuông góc với $BA$ tại $P$ với tia đối hoặc phần kéo dài của $AN$ . Chứng minh rằng $QO$ vuông góc với $BC$ .Các cách giải: 2
Bài 4Cho $n, k$ là các số nguyên dương thỏa mãn $n > k$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}}$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho một hoán vị $(a_0, a_1, \ldots, a_n)$ của dãy số $0, 1, \ldots, n$ . Một phép đổi chỗ $a_i$ với $a_j$ được gọi là hợp lệ nếu $a_i = 0$ với $i > 0$ , và $a_{i-1} + 1 = a_j$ . Hoán vị $(a_0, a_1, \ldots, a_n)$ được gọi là chính quy nếu sau một số phép đổi chỗ hợp lệ nó trở thành $(1, 2, \ldots, n, 0)$ . Hỏi với những số $n$ nào thì hoán vị $(1, n, n-1, \ldots, 3, 2, 0)$ là chính quy?Các cách giải: 1