把 kk(n−k)n−kk^k (n-k)^{n-k}kk(n−k)n−k 移到 (nk)\binom{n}{k}(kn) 旁边，立刻就能认出它是 ((n−k)+k)n=nn((n-k) + k)^n = n^n((n−k)+k)n=nn 的二项展开式中的一项。
由于 k≥1k \ge 1k≥1 且 n−k≥1n - k \ge 1n−k≥1，乘积 kk(n−k)n−kk^k (n-k)^{n-k}kk(n−k)n−k 为正数。将原双边不等式各项同乘 kk(n−k)n−kk^k (n-k)^{n-k}kk(n−k)n−k，并记 (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}(kn)=k!(n−k)!n!，可知原不等式等价于 nnn+1<(nk)kk(n−k)n−k<nn\frac{n^n}{n+1} < \binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} < n^nn+1nn<(kn)kk(n−k)n−k<nn。