Bài 1

Tính tổng

S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2}

với

x_i = \frac{i}{101}

Bước 2 trên 4: Viết lại mẫu số thành tổng hai lập phương đối xứng

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Các hệ số $1, -3, 3$ là dấu hiệu nhị thức quen thuộc của $(1 - x)^3$ ; việc thêm bớt để tạo lập phương đầy đủ làm lộ rõ tính đối xứng ẩn giữa $x_i$ và $1 - x_i$ .

1 - 3x_i + 3x_i^2 = (1 - 3x_i + 3x_i^2 - x_i^3) + x_i^3 = (1 - x_i)^3 + x_i^3 = x_{101-i}^3 + x_i^3

Phân tích chi tiết

Để ý rằng $1 - 3x_i + 3x_i^2$ chứa ba số hạng đầu của khai triển nhị thức $(1 - x_i)^3 = 1 - 3x_i + 3x_i^2 - x_i^3$ . Trừ và cộng thêm $x_i^3$ ta được $1 - 3x_i + 3x_i^2 = (1 - x_i)^3 + x_i^3 = x_{101-i}^3 + x_i^3$ , do đó số hạng tổng quát trở thành $\frac{x_i^3}{x_{101-i}^3 + x_i^3}$ .