Bài 1

Tính tổng

S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2}

với

x_i = \frac{i}{101}

Bước 3 trên 4: Đảo ngược thứ tự lấy tổng và cộng hai tổng lại

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Giống như mẹo của Gauss khi tính tổng cấp số cộng, việc ghép số hạng thứ $i$ tính từ đầu với số hạng thứ $i$ tính từ cuối làm mọi cặp đều rút gọn thành $1$ .

2S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{x_{101-i}^3 + x_i^3} + \sum_{i=0}^{101} \frac{x_{101-i}^3}{x_i^3 + x_{101-i}^3} = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3 + x_{101-i}^3}{x_{101-i}^3 + x_i^3}

Phân tích chi tiết

Thay chỉ số chạy $i$ bởi $101 - i$ trong tổng $S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{x_{101-i}^3 + x_i^3}$ ta được $S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_{101-i}^3}{x_i^3 + x_{101-i}^3}$ . Cộng từng số hạng của hai biểu thức này sẽ gộp hai tử số trên mẫu số chung $x_{101-i}^3 + x_i^3$ .