MathLabs

Bài 2

Cho 99 vòng tròn xếp dọc theo chu vi của một tam giác, mỗi cạnh của tam giác có 44 vòng tròn (ba vòng tròn ở ba đỉnh được dùng chung cho hai cạnh kề nhau và mỗi cạnh có hai vòng tròn ở giữa). Người ta viết mỗi số trong các số 1,2,…,91, 2, \ldots, 9 vào một vòng tròn sao cho mỗi vòng tròn chứa đúng một số và: (i) tổng của bốn số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng nhau; (ii) tổng bình phương của bốn số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng nhau. Tìm tất cả các cách điền số thỏa mãn yêu cầu.
Bước 1 trên 4: Liên hệ tổng và tổng bình phương mỗi cạnh với ba số ở đỉnh
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Mỗi khi các phần giao nhau tại các góc, việc lấy tổng trên toàn bộ các phần sẽ cô lập đóng góp của các góc theo modulo số phần, ở đây là 33.

3s=a+b+c+∑k=19k=a+b+c+45,3t=a2+b2+c2+∑k=19k2=a2+b2+c2+2853s = a + b + c + \sum_{k=1}^{9} k = a + b + c + 45, \qquad 3t = a^2 + b^2 + c^2 + \sum_{k=1}^{9} k^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 285
Phân tích chi tiết

Gọi a,b,ca, b, c là các số đặt ở ba vòng tròn đỉnh, ss là tổng chung của bốn số trên mỗi cạnh, và tt là tổng bình phương chung của chúng. Cộng cả ba cạnh lại sẽ đếm mỗi số trong 1,2,…,91, 2, \ldots, 9 đúng một lần và mỗi số ở đỉnh thêm một lần nữa, cho ta 3s=a+b+c+453s = a + b + c + 45 và 3t=a2+b2+c2+2853t = a^2 + b^2 + c^2 + 285. Vì 4545 và 285285 đều là bội của 33, cả a+b+ca + b + c lẫn a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 đều phải chia hết cho 33.