MathLabs

Bài 2

Cho 99 vòng tròn xếp dọc theo chu vi của một tam giác, mỗi cạnh của tam giác có 44 vòng tròn (ba vòng tròn ở ba đỉnh được dùng chung cho hai cạnh kề nhau và mỗi cạnh có hai vòng tròn ở giữa). Người ta viết mỗi số trong các số 1,2,…,91, 2, \ldots, 9 vào một vòng tròn sao cho mỗi vòng tròn chứa đúng một số và: (i) tổng của bốn số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng nhau; (ii) tổng bình phương của bốn số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng nhau. Tìm tất cả các cách điền số thỏa mãn yêu cầu.
Bước 2 trên 4: Dùng số học modulo 3 để thu hẹp ba đỉnh về ba lớp thặng dư
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Một khi ba đỉnh buộc phải có cùng số dư khi chia cho 33, chúng phải lấy trọn một trong ba lớp thặng dư {1,4,7}\{1, 4, 7\}, {2,5,8}\{2, 5, 8\} hoặc {3,6,9}\{3, 6, 9\}.

a+b+c≡0(mod3),a2+b2+c2≡0(mod3)  ⟹  {a,b,c}∈{{3,6,9},{1,4,7},{2,5,8}}a + b + c \equiv 0 \pmod{3}, \quad a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{3} \implies \{a, b, c\} \in \{\{3, 6, 9\}, \{1, 4, 7\}, \{2, 5, 8\}\}
Phân tích chi tiết

Mọi số chính phương đều thỏa mãn x2≡0x^2 \equiv 0 hoặc 1(mod3)1 \pmod{3}, nên a2+b2+c2≡0(mod3)a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{3} xảy ra khi và chỉ khi cả ba số a,b,ca, b, c đều chia hết cho 33 hoặc không số nào chia hết cho 33. Kết hợp điều này với a+b+c≡0(mod3)a + b + c \equiv 0 \pmod{3} suy ra cả ba số ở đỉnh phải đồng dư với nhau theo modulo 33. Vì mỗi lớp thặng dư chỉ có đúng ba số nên {a,b,c}∈{{3,6,9},{1,4,7},{2,5,8}}\{a, b, c\} \in \{\{3, 6, 9\}, \{1, 4, 7\}, \{2, 5, 8\}\}.