MathLabs

Bài 2

Cho 99 vòng tròn xếp dọc theo chu vi của một tam giác, mỗi cạnh của tam giác có 44 vòng tròn (ba vòng tròn ở ba đỉnh được dùng chung cho hai cạnh kề nhau và mỗi cạnh có hai vòng tròn ở giữa). Người ta viết mỗi số trong các số 1,2,…,91, 2, \ldots, 9 vào một vòng tròn sao cho mỗi vòng tròn chứa đúng một số và: (i) tổng của bốn số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng nhau; (ii) tổng bình phương của bốn số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng nhau. Tìm tất cả các cách điền số thỏa mãn yêu cầu.
Bước 3 trên 4: Loại hai tập đỉnh ứng viên đầu tiên bằng đồng dư modulo 4
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Xét số chính phương theo modulo 44 là bộ lọc cực nhanh: không có tổng hai bình phương nào chia dư 3(mod4)3 \pmod{4}, giúp loại ngay 4747 và 6767 mà không cần thử chọn.

{a,b,c}={3,6,9}  ⟹  t=137, x2+y2=47≡3(mod4);{a,b,c}={1,4,7}  ⟹  t=117, x2+y2=67≡3(mod4)\{a,b,c\}=\{3,6,9\} \implies t=137,\ x^2+y^2=47 \equiv 3 \pmod{4}; \qquad \{a,b,c\}=\{1,4,7\} \implies t=117,\ x^2+y^2=67 \equiv 3 \pmod{4}
Phân tích chi tiết

Nếu {a,b,c}={3,6,9}\{a, b, c\} = \{3, 6, 9\} thì 3t=32+62+92+285=4113t = 3^2 + 6^2 + 9^2 + 285 = 411, suy ra t=137t = 137. Trên cạnh nối hai đỉnh 33 và 99, hai số ở giữa x,yx, y phải thỏa mãn x2+y2=137−(32+92)=47≡3(mod4)x^2 + y^2 = 137 - (3^2 + 9^2) = 47 \equiv 3 \pmod{4}, điều này vô lý vì x2,y2≡0x^2, y^2 \equiv 0 hoặc 1(mod4)1 \pmod{4} kéo theo x2+y2≡0,1,2(mod4)x^2 + y^2 \equiv 0, 1, 2 \pmod{4}. Tương tự, nếu {a,b,c}={1,4,7}\{a, b, c\} = \{1, 4, 7\} thì 3t=12+42+72+285=3513t = 1^2 + 4^2 + 7^2 + 285 = 351, suy ra t=117t = 117; trên cạnh nối 11 và 77, hai số ở giữa phải thỏa mãn x2+y2=117−(12+72)=67≡3(mod4)x^2 + y^2 = 117 - (1^2 + 7^2) = 67 \equiv 3 \pmod{4}, cũng vô nghiệm.