MathLabs

Bài 3

Cho hai đa giác đều bằng nhau nn cạnh SS và TT trong mặt phẳng sao cho giao của chúng là một đa giác 2n2n cạnh (n≥3n \ge 3). Các cạnh của SS màu đỏ và các cạnh của TT màu xanh. Chứng minh tổng độ dài các cạnh xanh của S∩TS\cap T bằng tổng độ dài các cạnh đỏ.
Bước 4 trên 6: So sánh hai chu vi bằng nhau
Bước trướcBước tiếp
(h+k)x+y=(h+k)y+x  ⟹  (h+k−1)x=(h+k−1)y(h+k)x+y=(h+k)y+x\implies (h+k-1)x=(h+k-1)y
Phân tích chi tiết

Trên mỗi cạnh của SS, hai phần thuộc các tam giác ở góc kề nhau có độ dài tương ứng kpikp_i và hpi+1hp_{i+1}, còn đoạn biên đỏ xen giữa có độ dài qiq_i. Cộng quanh biên được per⁡(S)=(h+k)x+y\operatorname{per}(S)=(h+k)x+y. Tương tự, per⁡(T)=(h+k)y+x\operatorname{per}(T)=(h+k)y+x. Vì SS và TT bằng nhau nên chu vi của chúng bằng nhau, suy ra hệ thức đã nêu.